Introduction

Les différences finies sont une méthode de résolution numérique des EDP (avec les éléments finis et les volumes finis principalement). Avec les schéma de ce type, les erreur dûes à la discrétisation sont polynomiales (ex : en $\bigcirc (\Delta t, \Delta x^2)$).

Pour la résolution d'une EDP de dimension $n+1$ (espace+temps), on introduit un maillage de l'espace $\mathbb{R}^{n}$ de pas $\Delta x_i$ et du temps de pas $\Delta t$.

exemple, pour $n=1$ :

On construit ainsi une grille. On note :

$$\left\{ \begin{array}{lcl} x_{i_j} = j\Delta x_i &\qquad& \t... ... t & \qquad& \textrm{pour } k \in \mathbb{N}\end{array}\right.$$

Les noeuds de la grille sont les coordonnées $(x_{1_j}, \cdots , x_{n_j};t^k)$.

Les différences finies consistent à approcher les opérateurs de dérivation par des opérateurs discrets de dérivation. Par exemple, pour $n=1$ :

$$\frac{\partial u}{\partial x_1} (t^k,x_{1_j}) \simeq \frac{u(t^n,x_{1_j} + \Delta x_1) - u(t^n,x_{1_j})}{\Delta x_1}$$

où $u(t^k,x_{1_j})$ est l'approximation de $U$, la fonction continue régie par l'EDP au point $(t_0 + k\Delta t , x_0 + j \Delta x)$.

Nous étudions dans la prochaine section la construction de tels schémas pour une équation différentielle et une EDP avec un terme en espace 1D. Pour l'EDP, nous distinguerons schéma implicite et schéma explicite. Les sections suivantes traitent des problèmes que provoquent la discrétisation.