Présentation

On considère ici l'équation de Navier-Stokes en variables primitives (i.e. avec $\vec{u}$ et $p$ comme variables) sous forme adimensionnelle. L'écoulement est incompressible :

$$\left\{ \begin{array}{lcr} \vec{\nabla} . \vec{u} = 0&&\text... ... \qquad &\textrm{(\'equation de mouvement)} \end{array}\right.$$

Soit $\Omega$ le domaine et $\Gamma$ la frontière. Pour les C.L., $\vec{u}$ est donné sur $\Gamma$ et pour les C.I., $\vec{u}(0)$ est donné sur $\Gamma$ sous la contrainte $\vec{\nabla}. \vec{u} = 0$. Il existe une contrainte sur les C.L. dûe à l'équation de continuité :

$$\int_{\Omega} \vec{\nabla}. \vec{u} d A = 0 \textrm{ soit } \oint_{\Gamma} \vec{u} . \vec{n} dl = 0$$

Cette condition interprète le fait que l'écoulement entrant est égal à l'écoulement sortant à la frontière (conservation de la masse).

En résolvant l'équation d'évolution de $t$ à $t+ \Delta t$, on tombe sur deux problèmes :

1. On ne trouve pas forcement $\vec{\nabla}. \vec{u} (t+ \Delta t) = 0$.
2. Quelles sont les conditions limites pour p?