Vous êtes vous déjà demandé un jour ce qu'était un modèle ?
C'est une représentation simplifiée de la réalité physique.
Par simplification, on entend la négligence des phénomènes peu influants à l'échelle
étudiée. Par exemple si l'on étudie l'écoulement de l'air autour d'une automobile,
on ne prend pas en compte le mouvement de chaque particule de l'air. On moyenne
sur de petits volumes la vitesse et la pression induits par les particules.
Ces volumes sont petits par rapport à la taille de l'objet étudié mais
très grands par rapport a l'échelle microscopique. La mécanique des fluides fourni
une multitude de modèles pour étudier des fluides plus ou moins visqueux, compressibles
ou incompressibles, stationnaires ou instationnaires.
Dans le cadre de ce cours, nous allons étudier des méthodes numériques qui permettent
de résoudre les modèles couramment rencontrés en mécanique des fluides non compressibles.
Avant de rentrer dans le vif du sujet, positionons ces méthodes par rapport aux
méthodes expérimentales et théoriques
En toute logique, l'approche expérimentale est la plus réaliste. Cependant elle est la plus
coûteuse. Elle peut aussi poser des problèmes d'échelle. Par exemple, l'analogie des
Reynolds n'est pas toujour respectable. De même, elle pose des difficulté liées aux
mesures. Les outils de mesures sont intrusifs ce qui peut fausser les résultats et poser
des difficultés d'accès à certaines zones. Les conditions limites ne sont pas non plus
forcément idéales. Enfin, les études paramétriques sont longues.
L'approche théorique demande de modéliser le phénomène physique étudié.
En supposant que le modèle est bon à l'échelle étudiée, cette approche a la grande qualité
de fournir une solution exacte. Son principal défaut est qu'il est
souvent nécessaire de simplifer la géométrie ainsi que la physique de l'objet étudié et son
environnement. De même, les problèmes non linéaires ne sont pas traités.
Tout comme l'approche théorique, l'approche numérique demande de modéliser
le phénomène physique étudié. Contrairement à la première, elle permet de prendre en
compte des équations bien plus complexes dont les non linéaires (les équations de Navier-Stokes
par exemple). De même, une géométrie plus complexe et l'évolution en temps peut
être prise en compte. L'approche théorique a cependant aussi des limites. Elle implique
des erreurs liées à la discrétisation (troncature et convergence) et à la résolution
(arrondis). Elle pose aussi des problèmes liés aux conditions limites. On peut signaler
que bien des phénomènes ne sont pas encore modélisés. Enfin, il faut bien avoir
en tête que les machines qui vont résoudre le problème n'ont pas une mémoire
et une cadence d'horloge infinie. On doit donc étudier des domaines de taille et de finesse
raisonnable.
Concentrons nous maintenant sur la mécanique des fluides numérique.
Les équations, typiquement des EDP sont un modèle de la réalité.
Les solutions exactes des modèles de la mécanique des fluides, typiquement des EDP,
sont très rares. Il est donc souvent nécessaire de discrétiser ces équations
pour produire un résultat approché sur ordinateur.
Les fluides sont décrits par différentes équations suivant que l'on se place d'un point de vue
Lagrangien ou Eulerien. Le premier consiste à étudier le mouvement de chaque particule d'un
fluide, alors que le second consiste à décrire le fluide par ses caractéristiques globales
que sont la densité volumique, la vitesse et la pression. Nous nous focaliserons ici sur le
point de vue Eulerien.
Il est important d'être conscient que le traitement d'un problème de grande complexité implique un grand nombre de points dans le maillage. Il est donc nécessaire de posséder de bonnes capacités en terme de mémoire et de rapidité CPU. On peut constater qu'avec le temps, les cadences processeur et la taille de la RAM ne cessent d'augmenter. A ceci s'ajoute l'amélioration constante de l'efficacité des algorithmes de résolution d'EDP. Il est donc possible de traiter des problèmes de plus en plus finement.