Exemple de système linéarisé

L'équation d'onde d'ordre deux est :

$$u_{tt} = c^2 u_{xx}$$

On introduit $v$ et $w$, deux variables indépendantes telles que :

$$v= \frac{\partial u}{\partial t} \quad \textrm{ et } \quad w = c \frac{\partial u}{\partial x}$$

alors :

$$\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle{\frac{\partial v}{\pa... ...rtial t} = c \frac{\partial v}{\partial x}} \end{array}\right.$$

donc :

$$\frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + [A] \frac{\partial \vec{u}}{\partial x} = 0$$

avec :

$$\vec{u} = \left[ \begin{array}{c} v\\ w \end{array}\right]... ...= \left[ \begin{array}{cc} 0 & -c\\ -c & 0 \end{array}\right]$$