Systèmes d'équations d'ordre un

Forme générale :

$$\frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + [A] \frac{\partial \ve... ...tial x} + [B] \frac{\partial \vec{u}}{\partial y} +\vec{r} = 0$$

avec :

$$\left\{ \begin{array}{l} \textrm{[}A\textrm{]} = a_{i,j}(t,... ...connues}\\ \vec{r} = \vec{r}(\vec{u},x,y) \end{array}\right.$$

On distingue deux types d'EDP d'ordre un dans la direction $(x,t)$ :

• Si les valeurs propres de [A] sont réelles et distinctes, le système est hyperbolique dans cette direction.
• Si les valeurs propres de [A] sont complexes, le système est elliptique dans cette direction.
  

Pour la direction $(y,t)$, on observe les v.p. de [B] et on suit le même raisonnement. Par exemple pour l'équation d'onde :

$$\left\vert \begin{array}{cc} -\lambda & -c\\ -c & -\lambda \end{array}\right\vert = \lambda^2-c^2 = 0$$

donc :

$$\lambda_{1,2} = \pm c \in \mathbb{R}$$

Le comportement est hyperbolique dans la direction $(x,t)$