Idée

Soit $u$ une fonction d'une variable, de classe $C^4$. Si $h$ tend vers $0$, nous avons les deux formulations suivantes (formule de Taylor) :

$$u(x+h) = u(x) + h u'(x) + \frac{h^2}{2} u''(x) + \frac{h^3}{4} u'''(x) + \bigcirc (h^4)$$ (3.1)

$$u(x-h) = u(x) - h u'(x) + \frac{h^2}{2} u''(x) - \frac{h^3}{4} u'''(x) + \bigcirc (h^4)$$ (3.2)

En combinant $(3.1)$ et $(3.2)$, il vient naturellement :

$$u'(x) = \frac{u(x+h)-u(x)}{h} + \bigcirc (h)$$ (3.3)

$$u'(x) = \frac{u(x)-u(x-h)}{h} + \bigcirc (h)$$ (3.4)

$$u'(x) = \frac{u(x+h)-u(x-h)}{2h} + \bigcirc (h^2)$$ (3.5)

et :

$$u''(x) = \frac{u(x+h)-2u(x)+u(x-h)}{h^2} + \bigcirc (h^2)$$ (3.6)

L'équation $(3.3)$ est appelée l'approximation à droite de $u'(x)$ et l'équation $(3.4)$ l'approximation à gauche de $u'(x)$. Ces deux équations sont cependant grossières puisqu'elles sont en $\bigcirc(h)$. L'équation $(3.5)$, appelée approximation centrée de $u'(x)$, est plus précise puisqu'elle est en $\bigcirc(h^2)$. Quand à l'équation $(3.6)$, il s'agit de l'approximation de $u''(x)$ et elle est aussi en $\bigcirc(h^2)$.

Passons maintenant en dimension deux. On considère maintenant $u$ comme une fonction de deux variables de classe $C^4$. Le principe d'approximation des dérivées est exactement le même. Si $\Delta x$ et $\Delta y$ tendent vers $0$, nous avons :

$$\frac{\partial u}{\partial x} (x,y) = \frac{u(x+\Delta x,y)-u(x,y)}{\Delta x} + \bigcirc (\Delta x)$$ (3.7)

$$\frac{\partial u}{\partial x} (x,y) = \frac{u(x,y)-u(x-\Delta x,y)}{\Delta x} + \bigcirc (\Delta x)$$ (3.8)

$$\frac{\partial u}{\partial x} (x,y) = \frac{u(x+\Delta x,y)-u(x-\Delta x,y)}{2 \Delta x} + \bigcirc (\Delta x^2)$$ (3.9)

et :

$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} (x,y) = \frac{u(x+\Delta x,y)-2u(x,y)+u(x-\Delta x,y)}{\Delta x^2} +$$

$$\bigcirc (\Delta x^2)$$ (3.10)

Il en est de même pour les dérivées par rapport à la variable $y$. Ces formules permettent de comprendre la discrétisation qui va s'effectuer sur les équations aux dérivées partielles.