Exemple de schéma pour une équation différentielle

Considérons le problème suivant :

$$\left\{ \begin{array}{lr} -\frac{d^2}{d x^2} u(x) + p(x) \fr... ... \in ]0,1[\\ u(0) = \alpha\\ u(1) = \beta \end{array}\right.$$

Nous supposons $p$, $q$ et $f$ suffisement régulières avec $q(x) > 0$. Subdivisons le segment $[0,1]$ en $N+1$ points. Le pas du maillage est :

$$h=\frac{1}{N}$$

Et les noeuds du maillage sont :

$$x_i = i h \qquad i = 0, ... , N$$

Le système est vérifié en chaque point du maillage :

$$-\frac{d^2}{d x^2} u(x_i) + p(x_i) \frac{d}{d x} u(x_i) +q(x_i) u(x_i) = f(x_i)\\$$

Nous utilisons les approximations $(3.5)$ et $(3.6)$ :

$$-\frac{u(x_i+h)-2u(x_i)+u(x_i-h)}{h^2} + p(x_i) \frac{u(x_i+h)-u(x_i-h)}{2h} +q(x_i) u(x_i) = f(x_i) + \bigcirc(h^2)\\$$

On néglige le terme $\bigcirc(h^2)$. En notant $u_i$ la valeur approchée de $u$ aux points $x_i$, on obtient :

$$\left\{ \begin{array}{l} u_{i-1} (- \frac{1}{h^2} - \frac{p_... ...}{2h}) = f_i\\ u_0 = \alpha\\ u_N = \beta \end{array}\right.$$

Notons $a_i = (-\frac{1}{h^2} - \frac{p_i}{2h})$ , $b_i = (\frac{2}{h^2}+q_i)$ et $c_i = (- \frac{1}{h^2} + \frac{p_i}{2h})$. Nous aboutissons alors au système :

$$\left[ \begin{array}{cccccc} b_1&c_1&0&&&\\ a_2&b_2&c_2&&&\... ...ts\\ f_{N-2}\\ f_{N-1} - c_{N-1} \beta\\ \end{array}\right]$$

Il reste à étudier l'ordre du schéma, sa consistance et sa convergence. Nous verrons plus tard dans ce chapitre comment faire.