Navier-Stokes compressible

Les équations de Navier Stokes compressible sous forme conservatives sont :

$$\frac{\partial \vec{U}}{\partial t}+\frac{\partial \vec{E}}{... ...ial \vec{F}}{\partial y}+\frac{\partial \vec{G}}{\partial z}=0$$

avec :

$$\vec{U} = \left[ \begin{array}{c} \rho \\ \rho u \\ \rho v\\ \rho w\\ E_t \end{array}\right]$$

$$\vec{E} = \left[ \begin{array}{c} \rho u \\ \rho u^2+p-\tau... ...\tau_{xx} - v \tau_{xy} - w \tau_{xz} + q_x \end{array}\right]$$

$$\vec{F} = \left[ \begin{array}{c} \rho v\\ \rho uv - \tau_{... ...\tau_{xy} - v \tau_{yy} - w \tau_{yz} + q_y \end{array}\right]$$

$$\vec{G} = \left[ \begin{array}{c} \rho w\\ \rho uw - \tau_{... ...\tau_{xz} - v \tau_{yz} - w \tau_{zz} + q_z \end{array}\right]$$

où :

• $E_t =$ énergie totale par unité de volume $= \rho (e + \frac{u^2+v^2+w^2}{2})$
• $e =$ énergie interne par unité de masse
• $\tau_{ij} =$ tension visqueuse (Newtonienne) = $\mu [( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i}) - \frac{2}{3} \delta_{ij} \frac{\partial u_k}{\partial x_k}] \qquad (i,j,k = 1,2,3)$
• $\vec{q} = -k \vec{\nabla} T$ (loi de Fourier)
• $p= (\gamma-1)\rho e\qquad$ (pour gaz parfait $e=C_v T$, $\gamma = \frac{C_p}{C_v}$, $R= C_p- C_v$ alors $p=\rho R T$)
• $T=(\gamma - 1) \frac{e}{R}$
  

Si on re-écrit ces équations sous forme adimensionnelle avec :

• $L$ = longueur caractéristique
• $V_{\infty}$ = vitesse caractéristique
• $L/V_{\infty}$ = temps caractéristique
• $\mu_{\infty}$ = viscosité dynamique caractéristique
• $\rho_{\infty}$ = masse volumique caractéristique
• $p_{\infty}$ = $\rho_{\infty}V_{\infty}^2$ = pression caractéristique
• $T_{\infty}$ = temps caractéristique
• $e_{\infty}$ = $V_{\infty}^2$ = énergie interne caractéristique
• $Re_L = \frac{\rho_{\infty} V_{\infty} L}{ \mu_{\infty}}$, $M_{\infty} = \frac{V_{\infty}}{\sqrt{\gamma R T_{\infty}}}$, $Pr= \frac{C_p \mu}{\alpha}$, $\alpha = \frac{k}{\rho C_p}$
  

on retouve les mêmes équations avec :

• $\tau_{xx} = \frac{2 \mu}{ 3 Re_L} (2 \frac{\partial u}{ \partial x} - \frac{\partial v}{ \partial y} - \frac{\partial w}{ \partial z})$
• $\tau_{yy} = \cdots$
• $\tau_{zz} = \cdots$
• $\tau_{xy} = \frac{\mu}{Re_L} (\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial x})$
• $\tau_{xz} = \cdots$
• $\tau_{yz} = \cdots$
• $q_x = \frac{\mu}{(\gamma -1) M_{\infty}^2 Re_L Pr} \frac{\partial T}{\partial x}$
• $q_y = \cdots$
• $q_z = \cdots$
  

et les équations d'état sont :

$$p= (\gamma -1) \rho e \qquad \textrm{et} \qquad T = \frac{\gamma M_{\infty}^2 p}{\rho}$$

La pression a une signification thermodynamique dans le cas compressible.