Cas incompressible

Le cas incompressible (avec $\mu$ = const) se traduit par :

$$\frac{D \rho}{D t} = 0 \qquad \textrm{la masse volumique est constante le long d'une ligne de courant}$$

Si $\rho$ est constant en amont alors $\rho$ est constant partout dans le domaine. Alors :

$$\rho \vec{\nabla} . \vec{u}=0 \quad \Rightarrow \quad \vec{\nabla} . \vec{u}=0$$

L'équation de Navier-Stokes en variables primitives $(p,\vec{u})$ est alors (forme non conservative) :

$$\left\{ \begin{array}{lcr} \frac{\partial \vec{u}}{\partial ... ...) = 0&& \textrm{(Equation de continuit\'e)} \end{array}\right.$$

avec :

• $\vec{u} \vec{v}$ : le produit tensoriel entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$.
• $\vec{u} . \vec{v}$ : le produit vectoriel entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$.
  

Ici, la pression a une signification mécanique et non pas thermodynamique. La forme conservative des équations de N.S. est :

$$\left\{ \begin{array}{l} \frac{\partial \vec{u}}{\partial t}... ...artial t} + \vec{\nabla} (\rho \vec{u}) = 0 \end{array}\right.$$

car :

$$\vec{\nabla} . (\vec{u} \vec{u}) = \vec{u} . \vec{\nabla} \v... ...rm{nul dans}\\ \textrm{le cas} \\ \textrm{incomp.}\end{array}}$$