Généralisation de Crank-Nicolson

Une généralisation populaire du schéma de Crank-Nicolson est :

$$\frac{u_{j}^{n+1}-u_{j}^{n}}{\Delta t} = \frac{\alpha}{2 \De... ...1}^{n})+(1-\theta)(u_{j+1}^{n+1}-2 u_{j}^{n+1}+u_{j-1}^{n+1})]$$

avec $\theta$ une constante comprise entre $0$ et $1$. On peut constater que si $\theta=0$, on a un simple schéma explicite ; si $\theta=1/2$, on retrouve Crank-Nicolson et enfin si $\theta=1$ on a affaire à un schéma implicite dit de Laasonen.

Ce schéma est stable si :

$$\left\{ \begin{array}{lcl} 0 \leqslant \alpha \frac{\Delta t... ...}& \frac{1}{2} \leqslant \theta \leqslant 1 \end{array}\right.$$