Schéma implicite de Bridley-Mc Donald (1974)

Il s'agit ici d'un schéma, pour la résolution aux différences finies des équations compressibles de N.S. sous forme conservative. L'idée est de linéariser le terme $\frac{\partial F}{\partial x}$ en utilisant une série de Taylor tronquée :

$$\frac{u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n}}{\Delta t} + \left( \frac{\partial F}{\partial x}\right)_i^{n+1} = \mu \delta_x^2 u_i^{n+1}$$

avec :

$$\begin{array}{ll} \left( \frac{\partial F}{\partial} \right)... ...i-1}^{n}(u_{i-1}^{n+1}-u_{i-1}^{n})}{2 \Delta x}\\ \end{array}$$

Ici, l'erreur de troncature est d'ordre $\bigcirc (\Delta t, \Delta x^2)$ pour le schéma complet. Nous obtenons donc un système linéaire d'équations algébriques pour le temps $n+1$ ce qui donne un système tridiagonal. Ce schéma est inconditionnellement stable. La précision temporelle peut être améliorée par le schéma suivant (inconditionnellement stable et d'E.T. d'ordre $\bigcirc(\Delta t^2, \Delta x^2)$) :

$$\begin{array}{l} \frac{u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n}}{ \Delta t} + \... ...}{2} \mu [\delta_x^2 u_i^n + \delta_x^2 u_i^{n+1} ] \end{array}$$

Remarque : si le schéma de Bridley- Mc Donald est utilisé directement pour l'équation de Burgers $2D$, on n'obtient pas un système d'équations algébriques tridiagonal. Une solution est d'utiliser la procédure ADI à deux pas.