Méthode de projection

Pour la résolution des équations de Navier Stokes instationnaires, une méthode explicite au pas fractionnaire et d'ordre $1$ en temps est la méthode de projection :

• Pas 1 : On pose N.S. sans pression :
  
  $$\frac{\vec{u}^{*}-\vec{u}^n}{\Delta t} + (\vec{u}.\vec{\nabla} \vec{u}) \Big\vert^n = \frac{1}{Re} \nabla^2 u^n$$
  
  

• Pas 2 : On obtient la pression par l'équation :
  
  $$\nabla^2 p^{n+1} = \frac{1}{ \Delta t} \vec{\nabla} . \vec{u}^{*}$$
  
  
  Cette équation produit un champ de vitesse à divergence nulle :
  
  $$\begin{array}{ll} \vec{\nabla} . \vec{u}^{n+1} & = \vec{\nab... ...nabla} . \vec{u}^{*} - \Delta t \nabla^2 p \equiv 0 \end{array}$$
  
  

• Pas 3 : On calcule :
  
  $$\frac{\vec{u}^{n+1} - \vec{u}^{*}}{\Delta t} = - \vec{\nabla} p^{n+1}$$
  
  

En éliminant $\vec{u}^{*}$ dans le pas $1$ et le pas $3$, on retrouve bien :

$$\frac{\vec{u}^{n+1} - \vec{u}^n}{\Delta t} + (\vec{u} . \vec... ...Big\vert^n = -\vec{\nabla} p^{n+1} + \frac{1}{Re} \nabla^2 u^n$$

Les C.L. pour la pression doivent satisfaire une relation de compatibilité. Soit $\Omega$ le domaine et $\Gamma$ la frontière, alors le deuxième pas implique :

$$\begin{array}{l} \int_{\Omega} \nabla^2 p^{n+1} d A = \frac{... ...lta t} \int_{\Omega} \vec{\nabla} . \vec{u}^{*} d A \end{array}$$

Cette relation est la relation de compatibilité.

On obtient aussi, depuis le pas $3$ :

$$\frac{\vec{u}^{n+1}\vec{u}^{*}}{\Delta t} . \vec{n} = - \vec{\nabla} p^{n+1} . \vec{n}$$

donc :

$$\frac{\partial p^{n+1}}{\partial n} = - \frac{1}{\Delta t} \left[ \vec{u}^{n+1} - \vec{u}^{*} \right] . \vec{n}$$

C'est une condition de Neumann de pression. Par intégration sur $\Gamma$, on obtient :

$$\oint_{\Gamma} \frac{\partial p^{n+1}}{\partial n} d l = \u... ...e condition soit} \\ \textrm{toujours satisfaite} \end{array}}$$

En pratique :

• Pas 1 : On calcule $\vec{u}^{*}$ aux points intérieurs mais pas à la frontière ( $\Omega - \Gamma$). On impose $\vec{u}^{*}_{\Gamma}$ quelconque sur la frontière. Un bon choix est $\vec{u}_{\Gamma}^{*} = \vec{u}_{\Gamma}^{n+1}$
• Pas 2 : On calcule $p$ sur $\Omega$ et impose $\frac{\partial p}{\partial n}\Big\vert _{\Gamma} = 0$. C'est l'approximation d'une couche limite sur une paroi solide. Si la frontière n'est pas une paroi, il faut itérer entre le pas $2$ et le pas $3$.
• Pas 3 : On calcule alors $\vec{u}^{n+1}$ sur $\Omega$ avec $\vec{u}_{\Gamma}^{n+1}=\vec{u}_{\Gamma}^{*}$ pour garder $\frac{\partial p}{\partial n}\Big\vert _{\Gamma} = 0$ et $\oint_{\Gamma} \vec{u}_{\Gamma} . \vec{n} dl = 0$.
  

La méthode explicite impose des limitations sévères sur le pas de temps, aussi bien du point de vue visqueux que du non visqueux. Il est donc recommandé d'utiliser des schémas implicites.