Méthode de projection implicite

Nous étudions ici la méthode de projection implicite d'Adam-Bashforth - Crank-Nicolson. Cette méthode est d'ordre deux en temps et centrée sur $n+\frac{1}{2}$. Elle s'écrit :

$$\frac{\vec{u}^{n+1}-\vec{u}^n}{\Delta t} + \frac{3}{2} (\vec... ...rac{1}{2 Re} \nabla^2 \left[ \vec{u}^{n+1} + \vec{u}^n \right]$$

• L'évaluation du terme non linéaire est explicite (Adam-Bashforth). Elle est effectuée par un développement de Taylor du style :
  
  $$\begin{array}{l} a(n) = a(n+\frac{1}{2})- \frac{\Delta t}{2}... ... (n-1) = a(n + \frac{1}{2}) + \bigcirc (\Delta t^2) \end{array}$$
  
  

• L'évaluation du terme visqueux est normalement soumise à des restrictions sévères. L'évaluation implicite (avec Crank-Nicolson) améliore les choses.

Pour la résolution, on utilise une méthode de splitting (à plusieurs pas) :

• Pas 1 : On s'occupe de la partie explicite :
  
  $$\frac{\vec{u}^{*} - \vec{u}^{n}}{\Delta t} + \frac{3}{2} (\v... ...}) \vec{u} \Big\vert^{n-1} = \frac{1}{2 Re} \nabla^2 \vec{u}^n$$
  
  

  Les $\vec{u}_{\Gamma}^{*}$ sont arbitraires comme dans le schéma précédent.
  

• Pas 2 : La pression est gérée ici :
  
  $$\nabla^2 p^{n+\frac{1}{2}} = \frac{1}{\Delta t} \vec{\nabla} . \vec{u}^{*}$$
  
  
  avec :
  
  $$\frac{\partial p}{\partial n} \Big\vert _{\Gamma}^{n+\frac{1... ...rac{1}{2 Re} \nabla^2 \vec{u}^{n+1} \right]_{\Gamma} . \vec{n}$$
  
  

• Pas 3 :
  
  $$\frac{\vec{u}^{n+1}-\vec{u}^{*}}{\Delta t} = - \vec{\nabla} p^{n+\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 Re} \nabla^2 \vec{u}^{n+1}$$
  
  
  donc :
  
  $$\underbrace{\left( I - \frac{\Delta t}{2 Re} \nabla^2 \right... ...rbrace{\vec{u}^{*} - \Delta t \vec{\nabla} p}_{\textrm{connu}}$$
  
  

En pratique, la C.L. pour le pas $2$ viens du pas $3$ même si $\vec{u}^{*}$ est arbitraire, on a une condition sur $p$ implicite qu'il faut résoudre par itération. Par exemple :

• Pas 1 : On a $\vec{u}^n$ ; on obtient $\vec{u}^{*}$ explicitement. L'initialisation de $\vec{u}_k$ se fait par $\vec{u}_{k=0} = \vec{u}^n$. Quand à $\vec{u}_{\Gamma}^{*}$, il est arbitraire.
  
• Pas 2 et 3 : Pour $k=0,1,2, \cdots$ au temps $n+1$, on calcule $p^{n+\frac{1}{2}}$ et $u^{n+1}$ simultanément :
  
  $$\left\{ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} \nabla^2 p... ..._k + \frac{1}{ 2 Re} \nabla^2 \vec{u}_{k+1} \end{array}\right.$$
  
  
  Il y a convergence si $\vert\vec{u}_{k+1} - \vec{u}_k\vert < \epsilon$ pour chaque pas de temps $n$.
  
• On retourne ensuite au pas $1$.
  

Une autre classe de méthodes pour traiter le problème incompressible est connue sous le nom de correction de pression (ou méthode SIMPLE).