Méthode SIMPLE

La famille des méthodes SIMPLE (Semi Implict Method for Pressure Linked Equations par Caretto et al., 1972) est une autre approche de la correction de pression.

Cette procédure est basée sur une série d'opérations d'estimation - correction. La vitesse est tout d'abord calculée à partir de l'équation de continuité en faisant une estimation sur le champ de pression. La pression et la vitesse sont ensuite corrigés pour satisfaire la continuité. On répète ce processus jusqu'à la convergence. La différence entre cette méthode et le méthode MAC ou bien les méthode de projection est la manière dont on corrige la pression et la vitesse.

Dans cette procédure, on pose la pression réelle $p$ telle que :

$$p=p_0+p' \qquad \qquad (1)$$

avec $p_0$ la valeur estimée de la pression et $p'$ la correction sur la pression. De la même manière, la vitesse réelle s'écrit :

$$\begin{array}{l} u=u_0 + u'\\ v=v_0 + v' \end{array}\qquad \qquad (2)$$

On relie les corrections sur la pression et la vitesse à partir d'une approximation de l'équation de mouvement :

$$\begin{array}{l} \rho \frac{\partial u'}{\partial t} = - \fr... ... v'}{\partial t} = - \frac{\partial p'}{\partial y} \end{array}$$

En considérant la correction de pression comme nulle à l'itération précédante et $\Delta x = \Delta y$, on a :

$$\begin{array}{l} u' = - A \frac{\partial p'}{\partial x}\\ ... ... A \frac{\partial p'}{\partial y} \end{array}\qquad \qquad (3)$$

avec $A = \frac{\Delta x}{\rho} = \frac{\Delta y}{\rho}$.

En combinant les équations $(2)$ et $(3)$, on obtient :

$$\underbrace{\Big( \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\par... ...}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 p'}{\partial y^2} \Big) = 0$$

soit :

$$\nabla^2 p' = \frac{1}{A} (\nabla . V_0) \qquad \qquad (4)$$

où $V_0$ est le vecteur d'estimation de la vitesse. On a alors une équation de Poisson à résoudre. On pourra utiliser l'algorithme de Gauss-Seidel pour la résoudre. On peut aussi résoudre l'équation par une évolution de l'algorithme (Raithly & Schneider 1979) :

1. Estimation de $p_0$en chaque point du maillage.
   
2. Résolution de l'équation d'évolution pour trouver $(u_0,v_0)$.
   
3. Résolution de l'équation de correction de pression $(4)$ pour trouver $p'$ en chaque point.
   
4. Correction de la pression et la vitesse en utilisant $(1)$ et $(3)$ :

   
   

   $$\begin{array}{lcr} p & = & p_0 + p'\\ u & = & u_0 - \frac{A... ..._0 - \frac{A}{2 \Delta y} (p'_{i,j+1} - p'_{i,j-1}) \end{array}$$
   
   
   
   
5. Remplacer les valeurs intermédiaires $(p_0 , u_0 , v_0)$ par les valeurs corrigées $(p,u,v)$ et retourner au deuxième pas. Répéter ce processus jusqu'à la convergence du schéma.
   

On pourra remarquer que $p'$ tend à être surestimé. On utilise alors souvent $p=p_0+ \alpha_p p'$ à la place de $(1)$ où $\alpha_p$ est un coefficient de sous relaxation.