Présentation

En dimension deux, il est avantageux d'utiliser une formulation fonction de courant - vorticité. Dans cette approche, on applique un changement de variables qui remplace les composantes de vitesse par la vorticité $\omega$ et la fonction de courant $\psi$. On n'a donc pas a un schéma en variables primitives comme précédement. Soit $\vec{u} = (u , v)'$ la vitesse ; l'équation de transport visqueux est alors :

$$\left\{ \begin{array}{l} \frac{\partial \omega}{\partial t} ... ...la^2 \omega\\ \\ \nabla^2 \psi = - \omega \end{array}\right.$$

avec :

$$\left\{ \begin{array}{l} \omega = \frac{\partial v}{\partial... ...}\\ v = - \frac{\partial \psi}{\partial x} \end{array}\right.$$

L'équation en première ligne est parabolique et celle en deuxième ligne est elliptique. On peut noter que le terme $(\vec{\omega}.\vec{\nabla}) \vec{u}$ a disparu car $\vec{\nabla} \vec{u}$ est dans le plan $x,y$ et $\vec{\omega}$ est selon $z$.

A chaque pas de $t$, il faut résoudre une équation de Poisson, ce qui est coûteux. Si on cherche seulement l'état stationnaire, on peut utiliser une méthode similaire à celle de la compressibilité artificielle. C'est la méthode pseudo-stationnaire :