Méthode pseudo-stationnaire (Mallinson & Vahl Davis 1973)

On y résoud :

$$\left\{ \begin{array}{l} \frac{\partial \omega}{\partial t} ... ...\nabla^2 \psi + \omega) \qquad , \alpha > 0 \end{array}\right.$$

Les deux équations sont paraboliques. $\alpha$ est un paramètre de relaxation nécessaire pour la convergence du schéma. La variable $t$ représente, ici, un temps fictif. Pour la résolution, on peut choisir pour une méthode implicite (ADI par exemple) ou explicite.

Pour les conditions limites, on nomme $\Omega$ le domaine et $\Gamma$ la frontière sur laquelle $\vec{u}$ est connu ( $\vec{u}_{\Gamma}$).

• Conditions Limites pour la fonction de courant :
  
  
  

  Dans le cas des conditions limites, on interprète $\frac{\partial \psi}{\partial x}=-v$ et $\frac{\partial \psi}{\partial y} = u$ par :

  
  

  $$\frac{\partial \psi}{\partial \tau} \Big\vert _{\Gamma} = \v... ...partial n} \Big\vert _{\Gamma} = \vec{u}_{\Gamma} . \vec{\tau}$$
  
  

  On a :
  

  $$\int_{\Gamma} \frac{\partial \psi}{\partial \tau} dl = \psi + \textrm{const}$$
  
  

  On néglige la constante. Soit la fonction $f$ telle que :
  

  $$f(x,y) = \int_{\Gamma} \vec{u}_{\Gamma} . \vec{n} dl$$
  
  

  Ici, $x$ et $y$ correspondent à un noeud de l'espace discrétisé (l'intégrale est sur une partie de la frontière). Alors, sur $\Gamma$ :
  

  $$\psi = f(x,y) \qquad \textrm{ et } \qquad \frac{\partial \psi}{\partial n} = g(x,y)$$
  
  

  Avec $g(x,y)= - \vec{u}_{\Gamma} . \vec{\tau}$. On a donc une condition de Dirichlet et une de Neumann. Evidemment, il faudra imposer seulement une de ces deux conditions.

• Conditions Limites pour la vorticité :
  La frontière solide crée de la vorticité pour maintenir l'adhérence du fluide à la paroi.
  
  

  On a :
  

  $$\begin{array}{l} \omega_{\Gamma} = - (\nabla^2 \psi)_{\Gamma... ... \psi_{0,j} = f_{0,j} \qquad \textrm{Dirichlet}\\ \end{array}$$
  
  

  On cherche :
  

  $$\omega_{0,j} = - (\psi_{xx} + \psi_{yy})_{0,j}$$
  
  

  Pour calculer $\omega_{0,j}$, il nous faut connaitre $\psi_{xx}$ et $\psi_{yy}$. On trouve $\psi_{yy}$ facilement :
  

  $$\psi_{yy} = f_{yy} \qquad \textrm{sur } \tau \textrm{ (o\\lq u $y$\ est sur la fronti\\lq ere)}$$
  
  

  Pour $\psi{xx}$, on utilise un développement de Taylor :
  

  $$\psi_{1,j} = \psi_{0,j} + \Delta x \underbrace{\psi_x \Big\v... ...} + \frac{1}{2} \Delta x^2 \psi_{xx} \Big\vert _{0,j} + \cdots$$
  
  

  donc :
  

  $$\psi_{xx} \Big\vert _{0,j} = \frac{2}{\Delta x^2} (\psi_{1,j} - \psi_{0,j} - \Delta x g_{0,j})$$
  
  

  et ainsi :
  

  $$\omega_{0,j} = - \left[ \frac{2}{\Delta x^2} (\psi_{1,j} - \... ...ace{\psi_{0,j}}_{f_{0,j}} - \Delta x g_{0,j}) + f_{yy} \right]$$
  
  

  
  

  Il est aussi possible d'approximer $\omega_{0,j}$ par une autre méthode. On commence par écrire :

  
  

  $$g_{0,j} = \frac{\psi_{1,j}-f_{0,j}}{\Delta x}$$
  
  

  Cette égalité est seulement satisfaite à la convergence du schéma car avant, $\psi_{1,j}$ n'a pas la bonne valeur. On peut alors écrire comme C.L. sur $\omega$ à chaque pas de $t$ (algorithme de descente avec $\gamma$ comme paramètre de relaxation) :
  

  $$\omega_{0,j}^{n+1} = \omega_{0,j}^{n} - \gamma \left[ \frac{\psi_{1,j}^{n} - f_{0,j}}{\Delta x} -g_{0,j} \right]$$
  
  

  A la convergence, on a :
  

  $$\omega_{0,j}^{n+1} = \omega_{0,j}^{n}$$
  
  

  et $\psi_{1,j}$ a la bonne valeur, et donc on a bien (correcte à l'ordre $\Delta x$) :
  

  $$\frac{\psi_{1,j}-f_{0,j}}{\Delta x} = g_{0,j}$$