schéma explicite

Construisons un maillage régulier. on note $x_j=j\Delta x$ avec $j=0,... ,N$ et $t_n = n \Delta t$. On note $u_j^n$ l'approximation de $u(x_j,t_n)$.

En utilisant pour la dérivée temporelle une approximation à droite, on obtient :

$$\frac{\partial u}{\partial t} (x_j,t_n) = \frac{u_j^{n+1}-u_j^n}{\Delta t}$$

le schéma se pose alors :

$$\left\{ \begin{array}{lr} \frac{u_j^{n+1}-u_j^n}{\Delta t} =... ...u_0^n = u_N^n = 0 & \forall n \in \mathbb{R}\end{array}\right.$$

On connaît les $u_j^0$, on en déduit les $u_j^1$ et ainsi de suite jusqu'aux $u_j^n$. Ce schéma est dit explicite car les $u_j^{n+1}$ se déduisent directement des $u_j^{n}$. Dans ce genre de schéma, aucun système d'équation n'est à résoudre (pas de matrice à inverser numériquement !!!), le nouveau pas se déduit des pas précédement calculés.