Erreur de troncature

Le calcul des erreurs de troncature est usuellement basé sur les développements de Taylor.

Par exemple, pour l'équation de la chaleur :

$$\frac{\partial u}{\partial t} - \alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 0$$

On utilise un schéma explicite centré en espace :

$$\frac{u_{j}^{n+1}-u_{j}^{n}}{\Delta t} = \frac{\alpha}{\Delta x^2} (u_{j+1}^{n} - 2 u_{j}^{n} + u_{j-1}^{n})$$

En développant $u_{j}^{n+1}$ et $u_{j}^{n}$ par développement de Taylor, soustrayant les résultats et divisant le tout par $\Delta t$, on retrouve l'erreur de troncature sur le temps, $\bigcirc(\Delta t)$. En suivant le même principe avec le terme sur l'espace, on trouve une erreur en $\bigcirc(\Delta x^2)$.

Au final :

$$\frac{\partial u}{\partial t} - \alpha \frac{\partial^2 u}{\... ...x^2} (u_{j+1}^{n} - 2 u_{j}^{n} + u_{j-1}^{n}) + \textrm{E.T.}$$

avec E.T., l'erreur de troncature. L'ordre de l'erreur de troncature est $\bigcirc (\Delta t, \Delta x^2)$.