Schéma d'Euler implicite

$$\frac{u_{j}^{n+1}-u_{j}^{n}}{\Delta t} + c \frac{u_{j+1}^{n+1} - u_{j-1}^{n+1}}{ 2 \Delta x} = 0$$

Ici, l'erreur de troncature est d'ordre $\bigcirc (\Delta t, \Delta x^2)$. Le schéma est inconditionnellement stable. On peut le réécrire sous la forme :

$$\frac{\nu}{2} u_{j+1}^{n+1} = u_{j}^{n+1} - \frac{\nu}{2} u_{j-1}^{n+1} = u_{j}^{n}$$

soit :

$$\underbrace{ \left[ \begin{array}{cccccccc} 1&\frac{\nu}{2}&... ...dots\\ u_{M-1}^{n}\\ u_{M}^{n} \end{array}\right]}_{[U^{n}]}$$

où $u_0^{n+1}$ et $u_{M+1}^{n+1}$ sont les C.L. connues. Le système se résoud numériquement en posant $[U^{n+1}] = [A]^{-1}[U^n]-[A]^{-1}[B]$.