Formule à cinq points

$$\frac{u_{i+1,j}-2 u_{i,j} + u_{i-1,j}}{\Delta x^2} + \frac{u_{i,j+1}-2 u_{i,j}+ u_{i,j-1}}{\Delta y^2} = 0$$

l'erreur de troncature est d'ordre $\bigcirc (\Delta x^2 , \Delta y^2)$ et l'équation modifiée est :

$$u_{xx} + u_{yy} = -\frac{1}{12} [u_{xxxx}(\Delta x)^2 + u_{yyyy} (\Delta y)^2]+ \cdots$$

Une formule à $9$ points peut être générée facilement avec comme erreur de troncature $\bigcirc (\Delta x^4, \Delta y^4)$.

Toutefois, l'erreur de troncature diminue rapidement pour les équations elliptiques plus générales, et il est de plus difficile de garder la précision près d'une frontière.

Supposons une grille uniforme ( $\Delta x = \Delta y$) avec un nombre de points égal suivant les $x$ et le $y$ (=N).

L'équation aux différences s'écrit :

$$u_{i+1,j} + u_{i-1,j} +u_{i,j+1} + u_{i,j-1} - 4 u_{i,j} = 0$$

pour chaque point où la solution $(i,j)$ est recherchée.

Si les C.L. sont de type Dirichlet et la solution est connue sur les quatre frontières, alors il reste $N^2$ points où la solution n'est pas connue. Pour chaque point, on écrit l'équation aux différences. On a donc $N^2$ équations linéaires algébriques pour les $N^2$ inconnues :

$$[A][\vec{U}] =[\vec{C}]$$

La matrice $[A]$ (de taille $(N^2*N^2)$) contient beaucoup de zéros ! Pour résoudre ce système, on peut utiliser une méthode directe (Gauss, Choleski...) ou une méthode itérative (Gauss-Seidel, surrelaxation, ADI).