Schéma explicite FTCS (Roache 1972)

FTCS signifie forward in time, centered in space

$$\frac{s_{i}^{n+1}-s_{i}^{n}}{\Delta t} + u \frac{s_{i+1}^{n}... ...psilon}{\Delta x^2} [ s_{i+1}^{n} - 2 s_{i}^{n} + s_{i-1}^{n}]$$

L'erreur de troncature est d'ordre $\bigcirc (\Delta t, \Delta x^2)$. Par élimination des dérivées temporelles, on obtient l'équation modifiée :

$$\begin{array}{l} s_t+u s_x = \underbrace{\left[ \epsilon \... ... \nu + 10 \nu r - 3 \nu^3 \right] s_{xxxx} + \cdots \end{array}$$

avec :

$$\begin{array}{ccc} \nu = \frac{u \Delta t}{\Delta x} \quad \... ...trm{ et }& r = \epsilon \frac{\Delta t}{\Delta x^2} \end{array}$$

Warming et Hyett ont montré que pour avoir stabilité, une condition nécessaire est que le coefficient du terme $s_{xx}$ soit supérieur à $0$ soit :

$$\nu^2 \leqslant 2 r$$

On introduit alors le nombre de Reynolds de maille (grid Reynolds number) tel que :

$$Re_{\Delta x} = \frac{u \Delta x}{\epsilon} \sim \frac{\textrm{convection}}{\textrm{diffusion}}$$

On montre facilement que :

$$Re_{\Delta x} = \frac{\nu}{r}$$

La condition nécessaire de stabilité est donc :

$$Re_{\Delta x} \leqslant \frac{2}{\nu}$$

Le nombre de Reynolds de maille est d'un grand intérêt pour la résolution d'équation de transport par un schéma d'ordre deux. Une analyse de stabilité de Von Neumann nous montre une autre condition :

$$\begin{array}{ccc} \nu^2 \leqslant 2r& \textrm{ et }& r \leqslant \frac{1}{2} \end{array}$$

On en déduit que $\nu \leqslant 1$ ce qui se traduit par :

$$2 \nu \leqslant Re_{\Delta x} \leqslant \frac{2}{\nu}$$

remarque : Ce schéma produit des wiggles (erreurs de phase) importants pour $2 \nu \leqslant Re_{\Delta x} \leqslant 2/ \nu$. Pour $Re_{\Delta x} > \frac{2}{\nu}$, les oscillations causent l'explosion de la solution. Pour éliminer les wiggles, la meilleure solution est de raffiner la grille surtout dans la (les) région(s) contenant beaucoup d'oscillations. On peut aussi penser utiliser un schéma décentré régressif (sur le terme convecté). Cette solution est à éviter car on additionne trop de viscosité numérique à la solution d'où une perte de précision.