Interprétation par caractéristiques

Une caractéristique interprète la vitesse et direction à laquelle est transportée l'information au cours du temps.

Pour une équation :

$$a \Phi_{xx} + b \Phi_{xy} + \Phi_{yy} + ... = g(x,y) \quad \textrm{(3)} \textrm{ ,}$$

on cherche les coordonnées caractéristiques $\xi$ et $\eta$ telles que $\xi(x,y)=const_1$ et $\eta(x,y)=const_2$ le long de ces carctéristiques. Pour (3), on a $\xi=y-\lambda_1 x$ et $\eta = y - \lambda_2 x$ avec :

$$\lambda_{1,2} = \frac{b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \underbrace{=}_{\textrm{prop.}} \frac{d y}{d x}$$

Par exemple :

$$\left\{ \begin{array}{l} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} =... ... [- \infty , + \infty]\\ u(0,x)=f_{ini}(x) \end{array}\right.$$

Cette équation régit la propagation d'une onde sonore à vitesse $c$ en milieu uniforme dans le temps et l'espace. Les courbes caractéristiques de ce problème sont les courbes intégrales de :

$$\frac{d x}{d t} = \pm \frac{\sqrt{4c^2}}{2} = \pm c$$

On dit que l'information se propage le long des caractéristiques. (ie : en prenant comme C.I. un Dirac en $x=1$ et $0$ ailleur, on va observer son déplacement le long des caractéristiques)