Equation de transport $2D$

En $2D$, l'équation de transport est sous la forme :

$$\frac{\partial s}{\partial t} + u \frac{\partial s}{\partial... ...}{\partial x^2} + \epsilon_y \frac{\partial^2 s}{\partial y^2}$$

On peut facilement construire un schéma FTCS. Cependant, l'analyse de stabilité de Von Neumann est plus restrictive en $2D$ pour ce schéma :

$$\left\{ \begin{array}{l} (r_x+r_y) = (\epsilon_x \frac{\Delt... ... x}, \nu_y = \frac{\nu \Delta t}{\Delta y}) \end{array}\right.$$

Pour $\epsilon_x = \epsilon_y$ et $\Delta y = \Delta x$ la première condition donne $r\leqslant 0.25$ ce qui est deux fois plus sévère qu'en $1D$. De plus, les termes de dissipation artificielle sont liés au premier ordre de la dérivée temporelle. Enfin, si le vecteur vitesse $\vec{u}=(u,v)$ est à $45$ degrés par rapport à la direction des coordonnées, il y a une très forte dissipation numérique.

Il est donc important d'utiliser une bonne précision temporelle.