Classification mathématique

On distingue EDP linéaire et EDP non linéaire. Les EDP linéaires ne contiennent aucun produit de variable avec elle même ou une de ses dérivées alors que les EDP linéaires peuvent en posséder. Par exemple :

$$\begin{array}{ ccc} \textrm{Equation de propagation} & \null... ...rtial x} = \nu \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\\ \end{array}$$

avec $u$ qui dépend de $x$ et de $t$ et $\nu$ une constante. Nous nous focalisons ici sur les EDP linéaires. Les EDP non linéaires seront l'objet d'étude des derniers chapitres de ce cours.

La classification des EDP linéaires se fait sur la base d'une équation d'ordre 2 standard :

$$a \Phi_{xx}+b \Phi_{xy} + c \Phi_{yy} + d \Phi_{x} + e \Phi_{y} + f \Phi = g(x,y) \qquad \textrm{(1)}$$

où $a,b,c,d,e,f$ sont fonctions de $(x,y)$. C'est une équation linéaire. Le type de l'EDP dépend de son discriminant, $\Delta = b^2 - 4 a c$ :

• $\Delta > 0$ alors, l'EDP est hyperbolique.
• $\Delta = 0$ alors, l'EDP est parabolique.
• $\Delta < 0$ alors, l'EDP est elliptique.